פתור את {l}{2x-2y=12}{5x-2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 2 y = 12 } \\ { 5 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y=-7$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-2y=12,5x-2y=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-2y=12$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=2y+12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+12\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎12+2y.

$$x=y+6$$

השתמש ב- ‎y+6 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x-2y=9.

$$5\left(y+6\right)-2y=9$$

הכפל את ‎5 ב- ‎y+6.

$$5y+30-2y=9$$

הוסף את ‎5y ל- ‎-2y.

$$3y+30=9$$

החסר ‎30 משני אגפי המשוואה.

$$3y=-21$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=-7$$

השתמש ב- ‎-7 במקום y ב- ‎x=y+6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-7+6$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-7.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=-7$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-2y=12,5x-2y=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{5}{6}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 12+\frac{1}{3}\times 9\\-\frac{5}{6}\times 12+\frac{1}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=-7$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-2y=12,5x-2y=9$$

החסר את ‎5x-2y=9 מ- ‎2x-2y=12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-5x-2y+2y=12-9$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎2y. האיברים ‎-2y ו- ‎2y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2x-5x=12-9$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-5x.

$$-3x=12-9$$

הוסף את ‎12 ל- ‎-9.

$$-3x=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום x ב- ‎5x-2y=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$5\left(-1\right)-2y=9$$

הכפל את ‎5 ב- ‎-1.

$$-5-2y=9$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$-2y=14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=-7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=-7$$