פתור את {l}{2x-2+4y=1/2}{8(y-1/2)=9(x+1)-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 2 + 4 y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( x + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2 משני הצדדים.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

חבר את ‎\frac{1}{2} ו- ‎2 כדי לקבל ‎\frac{5}{2}.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 8 ב- y-\frac{1}{2}.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 9 ב- x+1.

$$8y-4=9x+9-4$$

החסר את 4 מ- 9 כדי לקבל 5.

$$8y-4=9x+5$$

החסר ‎9x משני האגפים.

$$8y-4-9x=5$$

הוסף ‎4 משני הצדדים.

$$8y-9x=5+4$$

חבר את ‎5 ו- ‎4 כדי לקבל ‎9.

$$8y-9x=9$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-4y+\frac{5}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+\frac{5}{2}\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-4y+\frac{5}{2}.

$$x=-2y+\frac{5}{4}$$

השתמש ב- ‎-2y+\frac{5}{4} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-9x+8y=9.

$$-9\left(-2y+\frac{5}{4}\right)+8y=9$$

הכפל את ‎-9 ב- ‎-2y+\frac{5}{4}.

$$18y-\frac{45}{4}+8y=9$$

הוסף את ‎18y ל- ‎8y.

$$26y-\frac{45}{4}=9$$

הוסף ‎\frac{45}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$26y=\frac{81}{4}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎26.

$$y=\frac{81}{104}$$

השתמש ב- ‎\frac{81}{104} במקום y ב- ‎x=-2y+\frac{5}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{81}{104}.

$$x=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

הוסף את ‎\frac{5}{4} ל- ‎-\frac{81}{52} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{4}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2 משני הצדדים.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

חבר את ‎\frac{1}{2} ו- ‎2 כדי לקבל ‎\frac{5}{2}.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 8 ב- y-\frac{1}{2}.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 9 ב- x+1.

$$8y-4=9x+9-4$$

החסר את 4 מ- 9 כדי לקבל 5.

$$8y-4=9x+5$$

החסר ‎9x משני האגפים.

$$8y-4-9x=5$$

הוסף ‎4 משני הצדדים.

$$8y-9x=5+4$$

חבר את ‎5 ו- ‎4 כדי לקבל ‎9.

$$8y-9x=9$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2 משני הצדדים.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

חבר את ‎\frac{1}{2} ו- ‎2 כדי לקבל ‎\frac{5}{2}.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 8 ב- y-\frac{1}{2}.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 9 ב- x+1.

$$8y-4=9x+9-4$$

החסר את 4 מ- 9 כדי לקבל 5.

$$8y-4=9x+5$$

החסר ‎9x משני האגפים.

$$8y-4-9x=5$$

הוסף ‎4 משני הצדדים.

$$8y-9x=5+4$$

חבר את ‎5 ו- ‎4 כדי לקבל ‎9.

$$8y-9x=9$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎-9x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-9 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$-9\times 2x-9\times 4y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)x+2\times 8y=2\times 9$$

פשט.

$$-18x-36y=-\frac{45}{2},-18x+16y=18$$

החסר את ‎-18x+16y=18 מ- ‎-18x-36y=-\frac{45}{2} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-18x+18x-36y-16y=-\frac{45}{2}-18$$

הוסף את ‎-18x ל- ‎18x. האיברים ‎-18x ו- ‎18x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-36y-16y=-\frac{45}{2}-18$$

הוסף את ‎-36y ל- ‎-16y.

$$-52y=-\frac{45}{2}-18$$

הוסף את ‎-\frac{45}{2} ל- ‎-18.

$$-52y=-\frac{81}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-52.

$$y=\frac{81}{104}$$

השתמש ב- ‎\frac{81}{104} במקום y ב- ‎-9x+8y=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-9x+8\times \frac{81}{104}=9$$

הכפל את ‎8 ב- ‎\frac{81}{104}.

$$-9x+\frac{81}{13}=9$$

החסר ‎\frac{81}{13} משני אגפי המשוואה.

$$-9x=\frac{36}{13}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$x=-\frac{4}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$