פתור את {l}{2x+y=5}{2x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 5 } \\ { 2 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+y=5,2x-y=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+y=5$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-y+5.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+5}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-y=5.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)-y=5$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-y+5}{2}.

$$-y+5-y=5$$

הוסף את ‎-y ל- ‎-y.

$$-2y+5=5$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$-2y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{2},y=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+y=5,2x-y=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{2\left(-1\right)-2}&\frac{2}{2\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 5\\\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{5}{2},y=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+y=5,2x-y=5$$

החסר את ‎2x-y=5 מ- ‎2x+y=5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+y+y=5-5$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y+y=5-5$$

הוסף את ‎y ל- ‎y.

$$2y=5-5$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-5.

$$2y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎2x-y=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x=5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{5}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{2},y=0$$