פתור את {l}{2x+y=4}{3x+y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 4 } \\ { 3 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-2$$

$$y=8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+y=4,3x+y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+y=4$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-y+4.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{2}+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+y=2.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+2\right)+y=2$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{y}{2}+2.

$$-\frac{3}{2}y+6+y=2$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{2} ל- ‎y.

$$-\frac{1}{2}y+6=2$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{2}y=-4$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=8$$

השתמש ב- ‎8 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\times 8+2$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎8.

$$x=-4+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-4.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=8$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+y=4,3x+y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3}&-\frac{1}{2-3}\\-\frac{3}{2-3}&\frac{2}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4+2\\3\times 4-2\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-2,y=8$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+y=4,3x+y=2$$

החסר את ‎3x+y=2 מ- ‎2x+y=4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-3x+y-y=4-2$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2x-3x=4-2$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-3x.

$$-x=4-2$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-2.

$$-x=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-2$$

השתמש ב- ‎-2 במקום x ב- ‎3x+y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$3\left(-2\right)+y=2$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-2.

$$-6+y=2$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$y=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=8$$