פתור את {l}{2x+y=36}{x-y=5.25}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 36 } \\ { x - y = 5.25 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=13.75$$

$$y=8.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+y=36,x-y=5.25$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+y=36$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-y+36$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+36\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-y+36.

$$x=-\frac{1}{2}y+18$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{2}+18 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-y=5.25.

$$-\frac{1}{2}y+18-y=5.25$$

הוסף את ‎-\frac{y}{2} ל- ‎-y.

$$-\frac{3}{2}y+18=5.25$$

החסר ‎18 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{3}{2}y=-12.75$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{17}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{17}{2} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+18. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{17}{2}+18$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎\frac{17}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{17}{4}+18$$

הוסף את ‎18 ל- ‎-\frac{17}{4}.

$$x=\frac{55}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{55}{4},y=\frac{17}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+y=36,x-y=5.25$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\5.25\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 36+\frac{1}{3}\times 5.25\\\frac{1}{3}\times 36-\frac{2}{3}\times 5.25\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{4}\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{55}{4},y=\frac{17}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+y=36,x-y=5.25$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$2x+y=36,2x+2\left(-1\right)y=2\times 5.25$$

פשט.

$$2x+y=36,2x-2y=10.5$$

החסר את ‎2x-2y=10.5 מ- ‎2x+y=36 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+y+2y=36-10.5$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$y+2y=36-10.5$$

הוסף את ‎y ל- ‎2y.

$$3y=36-10.5$$

הוסף את ‎36 ל- ‎-10.5.

$$3y=25.5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=\frac{17}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{17}{2} במקום y ב- ‎x-y=5.25. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x-\frac{17}{2}=5.25$$

הוסף ‎\frac{17}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{55}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{55}{4},y=\frac{17}{2}$$