פתור את {l}{2x+y=18}{3x+2y=28}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 18 } \\ { 3 x + 2 y = 28 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=8$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+y=18$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-y+18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+18\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-y+18.

$$x=-\frac{1}{2}y+9$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{2}+9 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+2y=28.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+9\right)+2y=28$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{y}{2}+9.

$$-\frac{3}{2}y+27+2y=28$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{2} ל- ‎2y.

$$\frac{1}{2}y+27=28$$

החסר ‎27 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{2}y=1$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+9$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎2.

$$x=-1+9$$

הוסף את ‎9 ל- ‎-1.

$$x=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=8,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 18-28\\-3\times 18+2\times 28\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=8,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3y=3\times 18,2\times 3x+2\times 2y=2\times 28$$

פשט.

$$6x+3y=54,6x+4y=56$$

החסר את ‎6x+4y=56 מ- ‎6x+3y=54 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+3y-4y=54-56$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y-4y=54-56$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-4y.

$$-y=54-56$$

הוסף את ‎54 ל- ‎-56.

$$-y=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎3x+2y=28. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+2\times 2=28$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$3x+4=28$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$3x=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=8$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=8,y=2$$