פתור את {l}{2x+y=17}{5x-5y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 17 } \\ { 5 x - 5 y = 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=6$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+y=17,5x-5y=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+y=17$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-y+17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+17\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-y+17.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+17}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x-5y=5.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}\right)-5y=5$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{-y+17}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{85}{2}-5y=5$$

הוסף את ‎-\frac{5y}{2} ל- ‎-5y.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{85}{2}=5$$

החסר ‎\frac{85}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{15}{2}y=-\frac{75}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{15}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{17}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎5.

$$x=\frac{-5+17}{2}$$

הוסף את ‎\frac{17}{2} ל- ‎-\frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+y=17,5x-5y=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-5}&-\frac{1}{2\left(-5\right)-5}\\-\frac{5}{2\left(-5\right)-5}&\frac{2}{2\left(-5\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{15}\times 5\\\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=6,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+y=17,5x-5y=5$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$5\times 2x+5y=5\times 17,2\times 5x+2\left(-5\right)y=2\times 5$$

פשט.

$$10x+5y=85,10x-10y=10$$

החסר את ‎10x-10y=10 מ- ‎10x+5y=85 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x+5y+10y=85-10$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5y+10y=85-10$$

הוסף את ‎5y ל- ‎10y.

$$15y=85-10$$

הוסף את ‎85 ל- ‎-10.

$$15y=75$$

חלק את שני האגפים ב- ‎15.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎5x-5y=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x-5\times 5=5$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎5.

$$5x-25=5$$

הוסף ‎25 לשני אגפי המשוואה.

$$5x=30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=5$$