פתור את {l}{2x+y=11}{3x-y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 11 } \\ { 3 x - y = 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+y=11,3x-y=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+y=11$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-y+11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+11\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-y+11.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+11}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-y=9.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}\right)-y=9$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-y+11}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{33}{2}-y=9$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{2} ל- ‎-y.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}=9$$

החסר ‎\frac{33}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{5}{2}y=-\frac{15}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{5}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{11}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎3.

$$x=\frac{-3+11}{2}$$

הוסף את ‎\frac{11}{2} ל- ‎-\frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+y=11,3x-y=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 11+\frac{1}{5}\times 9\\\frac{3}{5}\times 11-\frac{2}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=4,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+y=11,3x-y=9$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3y=3\times 11,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 9$$

פשט.

$$6x+3y=33,6x-2y=18$$

החסר את ‎6x-2y=18 מ- ‎6x+3y=33 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+3y+2y=33-18$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y+2y=33-18$$

הוסף את ‎3y ל- ‎2y.

$$5y=33-18$$

הוסף את ‎33 ל- ‎-18.

$$5y=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎3x-y=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-3=9$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=3$$