פתור את {l}{2x+y=10}{3x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 10 } \\ { 3 x = y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$3x-y=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+y=10,3x-y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+y=10$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-y+10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-y+10.

$$x=-\frac{1}{2}y+5$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{2}+5 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-y=0.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+5\right)-y=0$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{y}{2}+5.

$$-\frac{3}{2}y+15-y=0$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{2} ל- ‎-y.

$$-\frac{5}{2}y+15=0$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{5}{2}y=-15$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{5}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\times 6+5$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎6.

$$x=-3+5$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-3.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$3x-y=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+y=10,3x-y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10\\\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎y משני האגפים.

$$3x-y=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+y=10,3x-y=0$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3y=3\times 10,2\times 3x+2\left(-1\right)y=0$$

פשט.

$$6x+3y=30,6x-2y=0$$

החסר את ‎6x-2y=0 מ- ‎6x+3y=30 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+3y+2y=30$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y+2y=30$$

הוסף את ‎3y ל- ‎2y.

$$5y=30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום y ב- ‎3x-y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-6=0$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=6$$