פתור את {l}{2x+y=-6}{y=7x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = 7 x + 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎7x משני האגפים.

$$y-7x=3$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+y=-6$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-y-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-y-6.

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{2}-3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-7x+y=3.

$$-7\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

הכפל את ‎-7 ב- ‎-\frac{y}{2}-3.

$$\frac{7}{2}y+21+y=3$$

הוסף את ‎\frac{7y}{2} ל- ‎y.

$$\frac{9}{2}y+21=3$$

החסר ‎21 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{9}{2}y=-18$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{9}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4\right)-3$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎-4.

$$x=2-3$$

הוסף את ‎-3 ל- ‎2.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎7x משני האגפים.

$$y-7x=3$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\right)}&-\frac{1}{2-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{2-\left(-7\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\\\frac{7}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-6\right)-\frac{1}{9}\times 3\\\frac{7}{9}\left(-6\right)+\frac{2}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎7x משני האגפים.

$$y-7x=3$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

החסר את ‎-7x+y=3 מ- ‎2x+y=-6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x+7x+y-y=-6-3$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2x+7x=-6-3$$

הוסף את ‎2x ל- ‎7x.

$$9x=-6-3$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎-3.

$$9x=-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$x=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום x ב- ‎-7x+y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-7\left(-1\right)+y=3$$

הכפל את ‎-7 ב- ‎-1.

$$7+y=3$$

החסר ‎7 משני אגפי המשוואה.

$$y=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=-4$$