פתור את {l}{2x+5y=7}{-3x+y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 7 } \\ { - 3 x + y = 15 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-4$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+5y=7,-3x+y=15$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+5y=7$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-5y+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-5y+7.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5y+7}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-3x+y=15.

$$-3\left(-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}\right)+y=15$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{-5y+7}{2}.

$$\frac{15}{2}y-\frac{21}{2}+y=15$$

הוסף את ‎\frac{15y}{2} ל- ‎y.

$$\frac{17}{2}y-\frac{21}{2}=15$$

הוסף ‎\frac{21}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{17}{2}y=\frac{51}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{17}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{2}\times 3+\frac{7}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{2} ב- ‎3.

$$x=\frac{-15+7}{2}$$

הוסף את ‎\frac{7}{2} ל- ‎-\frac{15}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+5y=7,-3x+y=15$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{2-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-5\left(-3\right)}&\frac{2}{2-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\\\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 7-\frac{5}{17}\times 15\\\frac{3}{17}\times 7+\frac{2}{17}\times 15\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-4,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+5y=7,-3x+y=15$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎-3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$-3\times 2x-3\times 5y=-3\times 7,2\left(-3\right)x+2y=2\times 15$$

פשט.

$$-6x-15y=-21,-6x+2y=30$$

החסר את ‎-6x+2y=30 מ- ‎-6x-15y=-21 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-6x+6x-15y-2y=-21-30$$

הוסף את ‎-6x ל- ‎6x. האיברים ‎-6x ו- ‎6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-15y-2y=-21-30$$

הוסף את ‎-15y ל- ‎-2y.

$$-17y=-21-30$$

הוסף את ‎-21 ל- ‎-30.

$$-17y=-51$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-17.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎-3x+y=15. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-3x+3=15$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$-3x=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=-4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-4,y=3$$