פתור את {l}{2x+5y=3}{3x-2y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 3 } \\ { 3 x - 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-1$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+5y=3,3x-2y=-5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+5y=3$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-5y+3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-5y+3.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5y+3}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-2y=-5.

$$3\left(-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}\right)-2y=-5$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-5y+3}{2}.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{9}{2}-2y=-5$$

הוסף את ‎-\frac{15y}{2} ל- ‎-2y.

$$-\frac{19}{2}y+\frac{9}{2}=-5$$

החסר ‎\frac{9}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{19}{2}y=-\frac{19}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{19}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{-5+3}{2}$$

הוסף את ‎\frac{3}{2} ל- ‎-\frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+5y=3,3x-2y=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 3+\frac{5}{19}\left(-5\right)\\\frac{3}{19}\times 3-\frac{2}{19}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-1,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+5y=3,3x-2y=-5$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 3,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\left(-5\right)$$

פשט.

$$6x+15y=9,6x-4y=-10$$

החסר את ‎6x-4y=-10 מ- ‎6x+15y=9 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+15y+4y=9+10$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$15y+4y=9+10$$

הוסף את ‎15y ל- ‎4y.

$$19y=9+10$$

הוסף את ‎9 ל- ‎10.

$$19y=19$$

חלק את שני האגפים ב- ‎19.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎3x-2y=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-2=-5$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-1,y=1$$