פתור את {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+5y=259$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-5y+259$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-5y+259.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5y+259}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎199x-2y=1127.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

הכפל את ‎199 ב- ‎\frac{-5y+259}{2}.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

הוסף את ‎-\frac{995y}{2} ל- ‎-2y.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

החסר ‎\frac{51541}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{999}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{16429}{333}$$

השתמש ב- ‎\frac{16429}{333} במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{2} ב- ‎\frac{16429}{333} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

הוסף את ‎\frac{259}{2} ל- ‎-\frac{82145}{666} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{2051}{333}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎199x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎199 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

פשט.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

החסר את ‎398x-4y=2254 מ- ‎398x+995y=51541 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

הוסף את ‎398x ל- ‎-398x. האיברים ‎398x ו- ‎-398x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$995y+4y=51541-2254$$

הוסף את ‎995y ל- ‎4y.

$$999y=51541-2254$$

הוסף את ‎51541 ל- ‎-2254.

$$999y=49287$$

חלק את שני האגפים ב- ‎999.

$$y=\frac{16429}{333}$$

השתמש ב- ‎\frac{16429}{333} במקום y ב- ‎199x-2y=1127. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{16429}{333}.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

הוסף ‎\frac{32858}{333} לשני אגפי המשוואה.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎199.

$$x=\frac{2051}{333}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$