פתור את {l}{2x+5y=17}{6y=6-5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 17 } \\ { 6 y = 6 - 5 x } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{72}{13} = -5\frac{7}{13} \approx -5.538461538$$

$$y = \frac{73}{13} = 5\frac{8}{13} \approx 5.615384615$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎5x משני הצדדים.

$$6y+5x=6$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+5y=17$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-5y+17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+17\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-5y+17.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5y+17}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+6y=6.

$$5\left(-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}\right)+6y=6$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{-5y+17}{2}.

$$-\frac{25}{2}y+\frac{85}{2}+6y=6$$

הוסף את ‎-\frac{25y}{2} ל- ‎6y.

$$-\frac{13}{2}y+\frac{85}{2}=6$$

החסר ‎\frac{85}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{13}{2}y=-\frac{73}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{13}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{73}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{73}{13} במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{73}{13}+\frac{17}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{2} ב- ‎\frac{73}{13} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{365}{26}+\frac{17}{2}$$

הוסף את ‎\frac{17}{2} ל- ‎-\frac{365}{26} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{72}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎5x משני הצדדים.

$$6y+5x=6$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-5\times 5}&-\frac{5}{2\times 6-5\times 5}\\-\frac{5}{2\times 6-5\times 5}&\frac{2}{2\times 6-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}&\frac{5}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}\times 17+\frac{5}{13}\times 6\\\frac{5}{13}\times 17-\frac{2}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{72}{13}\\\frac{73}{13}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎5x משני הצדדים.

$$6y+5x=6$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$5\times 2x+5\times 5y=5\times 17,2\times 5x+2\times 6y=2\times 6$$

פשט.

$$10x+25y=85,10x+12y=12$$

החסר את ‎10x+12y=12 מ- ‎10x+25y=85 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x+25y-12y=85-12$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$25y-12y=85-12$$

הוסף את ‎25y ל- ‎-12y.

$$13y=85-12$$

הוסף את ‎85 ל- ‎-12.

$$13y=73$$

חלק את שני האגפים ב- ‎13.

$$y=\frac{73}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{73}{13} במקום y ב- ‎5x+6y=6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+6\times \frac{73}{13}=6$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{73}{13}.

$$5x+\frac{438}{13}=6$$

החסר ‎\frac{438}{13} משני אגפי המשוואה.

$$5x=-\frac{360}{13}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=-\frac{72}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$