פתור את {l}{2x+5y=17}{5x+y=31}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 17 } \\ { 5 x + y = 31 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=6$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+5y=17,5x+y=31$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+5y=17$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-5y+17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+17\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-5y+17.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5y+17}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+y=31.

$$5\left(-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}\right)+y=31$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{-5y+17}{2}.

$$-\frac{25}{2}y+\frac{85}{2}+y=31$$

הוסף את ‎-\frac{25y}{2} ל- ‎y.

$$-\frac{23}{2}y+\frac{85}{2}=31$$

החסר ‎\frac{85}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{23}{2}y=-\frac{23}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{23}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{-5+17}{2}$$

הוסף את ‎\frac{17}{2} ל- ‎-\frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+5y=17,5x+y=31$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\times 5}&-\frac{5}{2-5\times 5}\\-\frac{5}{2-5\times 5}&\frac{2}{2-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{23}&\frac{5}{23}\\\frac{5}{23}&-\frac{2}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{23}\times 17+\frac{5}{23}\times 31\\\frac{5}{23}\times 17-\frac{2}{23}\times 31\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=6,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+5y=17,5x+y=31$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$5\times 2x+5\times 5y=5\times 17,2\times 5x+2y=2\times 31$$

פשט.

$$10x+25y=85,10x+2y=62$$

החסר את ‎10x+2y=62 מ- ‎10x+25y=85 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x+25y-2y=85-62$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$25y-2y=85-62$$

הוסף את ‎25y ל- ‎-2y.

$$23y=85-62$$

הוסף את ‎85 ל- ‎-62.

$$23y=23$$

חלק את שני האגפים ב- ‎23.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎5x+y=31. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+1=31$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$5x=30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=1$$