פתור את {l}{2x+5y=-10}{y=-7/5x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = - 10 } \\ { y = - \frac { 7 } { 5 } x + 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎\frac{7}{5}x משני הצדדים.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+5y=-10$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-5y-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y-10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-5y-10.

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

השתמש ב- ‎-\frac{5y}{2}-5 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎\frac{7}{5}x+y=3.

$$\frac{7}{5}\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+y=3$$

הכפל את ‎\frac{7}{5} ב- ‎-\frac{5y}{2}-5.

$$-\frac{7}{2}y-7+y=3$$

הוסף את ‎-\frac{7y}{2} ל- ‎y.

$$-\frac{5}{2}y-7=3$$

הוסף ‎7 לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{5}{2}y=10$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{5}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{2}y-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-4\right)-5$$

הכפל את ‎-\frac{5}{2} ב- ‎-4.

$$x=10-5$$

הוסף את ‎-5 ל- ‎10.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎\frac{7}{5}x משני הצדדים.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\times \frac{7}{5}}&-\frac{5}{2-5\times \frac{7}{5}}\\-\frac{\frac{7}{5}}{2-5\times \frac{7}{5}}&\frac{2}{2-5\times \frac{7}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&1\\\frac{7}{25}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-10\right)+3\\\frac{7}{25}\left(-10\right)-\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎\frac{7}{5}x משני הצדדים.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎\frac{7x}{5} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎\frac{7}{5} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$\frac{7}{5}\times 2x+\frac{7}{5}\times 5y=\frac{7}{5}\left(-10\right),2\times \frac{7}{5}x+2y=2\times 3$$

פשט.

$$\frac{14}{5}x+7y=-14,\frac{14}{5}x+2y=6$$

החסר את ‎\frac{14}{5}x+2y=6 מ- ‎\frac{14}{5}x+7y=-14 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{14}{5}x-\frac{14}{5}x+7y-2y=-14-6$$

הוסף את ‎\frac{14x}{5} ל- ‎-\frac{14x}{5}. האיברים ‎\frac{14x}{5} ו- ‎-\frac{14x}{5} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$7y-2y=-14-6$$

הוסף את ‎7y ל- ‎-2y.

$$5y=-14-6$$

הוסף את ‎-14 ל- ‎-6.

$$5y=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום y ב- ‎\frac{7}{5}x+y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$\frac{7}{5}x-4=3$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{7}{5}x=7$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{7}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=-4$$