פתור את {l}{2x+4y=12}{3x+y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 12 } \\ { 3 x + y = 6 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+4y=12,3x+y=6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+4y=12$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-4y+12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+12\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-4y+12.

$$x=-2y+6$$

השתמש ב- ‎-2y+6 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+y=6.

$$3\left(-2y+6\right)+y=6$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-2y+6.

$$-6y+18+y=6$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎y.

$$-5y+18=6$$

החסר ‎18 משני אגפי המשוואה.

$$-5y=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=\frac{12}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{12}{5} במקום y ב- ‎x=-2y+6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\times \frac{12}{5}+6$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{12}{5}.

$$x=-\frac{24}{5}+6$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-\frac{24}{5}.

$$x=\frac{6}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{12}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+4y=12,3x+y=6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4\times 3}&-\frac{4}{2-4\times 3}\\-\frac{3}{2-4\times 3}&\frac{2}{2-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{2}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 12+\frac{2}{5}\times 6\\\frac{3}{10}\times 12-\frac{1}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{12}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{12}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+4y=12,3x+y=6$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3\times 4y=3\times 12,2\times 3x+2y=2\times 6$$

פשט.

$$6x+12y=36,6x+2y=12$$

החסר את ‎6x+2y=12 מ- ‎6x+12y=36 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+12y-2y=36-12$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$12y-2y=36-12$$

הוסף את ‎12y ל- ‎-2y.

$$10y=36-12$$

הוסף את ‎36 ל- ‎-12.

$$10y=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$y=\frac{12}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{12}{5} במקום y ב- ‎3x+y=6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+\frac{12}{5}=6$$

החסר ‎\frac{12}{5} משני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{18}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{6}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{12}{5}$$