פתור את {l}{2x+3y=t}{4x+y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = t } \\ { 4 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{t}{10}+\frac{3}{5}$$

$$y=\frac{2t-2}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=t,4x+y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=t$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+t$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+t\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+t.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{t}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+t}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+y=2.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+\frac{t}{2}\right)+y=2$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{-3y+t}{2}.

$$-6y+2t+y=2$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎y.

$$-5y+2t=2$$

החסר ‎2t משני אגפי המשוואה.

$$-5y=2-2t$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=\frac{2t-2}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2+2t}{5} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+\frac{t}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{2t-2}{5}+\frac{t}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎\frac{-2+2t}{5}.

$$x=\frac{3-3t}{5}+\frac{t}{2}$$

הוסף את ‎\frac{t}{2} ל- ‎\frac{3-3t}{5}.

$$x=-\frac{t}{10}+\frac{3}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{t}{10}+\frac{3}{5},y=\frac{2t-2}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=t,4x+y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}t\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}t\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}t\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}t\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 4}&-\frac{3}{2-3\times 4}\\-\frac{4}{2-3\times 4}&\frac{2}{2-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}t+\frac{3}{10}\times 2\\\frac{2}{5}t-\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{t}{10}+\frac{3}{5}\\\frac{2t-2}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{t}{10}+\frac{3}{5},y=\frac{2t-2}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=t,4x+y=2$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4t,2\times 4x+2y=2\times 2$$

פשט.

$$8x+12y=4t,8x+2y=4$$

החסר את ‎8x+2y=4 מ- ‎8x+12y=4t על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x+12y-2y=4t-4$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$12y-2y=4t-4$$

הוסף את ‎12y ל- ‎-2y.

$$10y=4t-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$y=\frac{2t-2}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2+2t}{5} במקום y ב- ‎4x+y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+\frac{2t-2}{5}=2$$

החסר ‎\frac{-2+2t}{5} משני אגפי המשוואה.

$$4x=\frac{12-2t}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=-\frac{t}{10}+\frac{3}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{t}{10}+\frac{3}{5},y=\frac{2t-2}{5}$$