פתור את {l}{2x+3y=9}{4x+9y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 9 } \\ { 4 x + 9 y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=13$$

$$y = -\frac{17}{3} = -5\frac{2}{3} \approx -5.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=9,4x+9y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=9$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+9\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+9.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+9}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+9y=1.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}\right)+9y=1$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{-3y+9}{2}.

$$-6y+18+9y=1$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎9y.

$$3y+18=1$$

החסר ‎18 משני אגפי המשוואה.

$$3y=-17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=-\frac{17}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{17}{3} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{17}{3}\right)+\frac{9}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎-\frac{17}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{17+9}{2}$$

הוסף את ‎\frac{9}{2} ל- ‎\frac{17}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=13$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=13,y=-\frac{17}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=9,4x+9y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\times 9-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 9-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 9-3\times 4}&\frac{2}{2\times 9-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 9-\frac{1}{2}\\-\frac{2}{3}\times 9+\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-\frac{17}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=13,y=-\frac{17}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=9,4x+9y=1$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 9,2\times 4x+2\times 9y=2$$

פשט.

$$8x+12y=36,8x+18y=2$$

החסר את ‎8x+18y=2 מ- ‎8x+12y=36 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x+12y-18y=36-2$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$12y-18y=36-2$$

הוסף את ‎12y ל- ‎-18y.

$$-6y=36-2$$

הוסף את ‎36 ל- ‎-2.

$$-6y=34$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$y=-\frac{17}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{17}{3} במקום y ב- ‎4x+9y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+9\left(-\frac{17}{3}\right)=1$$

הכפל את ‎9 ב- ‎-\frac{17}{3}.

$$4x-51=1$$

הוסף ‎51 לשני אגפי המשוואה.

$$4x=52$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=13$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=13,y=-\frac{17}{3}$$