פתור את {l}{2x+3y=8}{9x+4y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 8 } \\ { 9 x + 4 y = 14 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{10}{19}\approx 0.526315789$$

$$y = \frac{44}{19} = 2\frac{6}{19} \approx 2.315789474$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=8,9x+4y=14$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=8$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{2}+4 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎9x+4y=14.

$$9\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+4y=14$$

הכפל את ‎9 ב- ‎-\frac{3y}{2}+4.

$$-\frac{27}{2}y+36+4y=14$$

הוסף את ‎-\frac{27y}{2} ל- ‎4y.

$$-\frac{19}{2}y+36=14$$

החסר ‎36 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{19}{2}y=-22$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{19}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{44}{19}$$

השתמש ב- ‎\frac{44}{19} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{44}{19}+4$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎\frac{44}{19} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{66}{19}+4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-\frac{66}{19}.

$$x=\frac{10}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{10}{19},y=\frac{44}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=8,9x+4y=14$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\9&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 9}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 9}\\-\frac{9}{2\times 4-3\times 9}&\frac{2}{2\times 4-3\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}&\frac{3}{19}\\\frac{9}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}\times 8+\frac{3}{19}\times 14\\\frac{9}{19}\times 8-\frac{2}{19}\times 14\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{19}\\\frac{44}{19}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{10}{19},y=\frac{44}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=8,9x+4y=14$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎9x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎9 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$9\times 2x+9\times 3y=9\times 8,2\times 9x+2\times 4y=2\times 14$$

פשט.

$$18x+27y=72,18x+8y=28$$

החסר את ‎18x+8y=28 מ- ‎18x+27y=72 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$18x-18x+27y-8y=72-28$$

הוסף את ‎18x ל- ‎-18x. האיברים ‎18x ו- ‎-18x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$27y-8y=72-28$$

הוסף את ‎27y ל- ‎-8y.

$$19y=72-28$$

הוסף את ‎72 ל- ‎-28.

$$19y=44$$

חלק את שני האגפים ב- ‎19.

$$y=\frac{44}{19}$$

השתמש ב- ‎\frac{44}{19} במקום y ב- ‎9x+4y=14. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$9x+4\times \frac{44}{19}=14$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{44}{19}.

$$9x+\frac{176}{19}=14$$

החסר ‎\frac{176}{19} משני אגפי המשוואה.

$$9x=\frac{90}{19}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$x=\frac{10}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{10}{19},y=\frac{44}{19}$$