פתור את {l}{2x+3y=8}{6x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 8 } \\ { 6 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

$$y = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=8$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{2}+4 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x-3y=10.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+4\right)-3y=10$$

הכפל את ‎6 ב- ‎-\frac{3y}{2}+4.

$$-9y+24-3y=10$$

הוסף את ‎-9y ל- ‎-3y.

$$-12y+24=10$$

החסר ‎24 משני אגפי המשוואה.

$$-12y=-14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-12.

$$y=\frac{7}{6}$$

השתמש ב- ‎\frac{7}{6} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+4. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{6}+4$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎\frac{7}{6} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{7}{4}+4$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-\frac{7}{4}.

$$x=\frac{9}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-3\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 8+\frac{1}{8}\times 10\\\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{12}\times 10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 8,2\times 6x+2\left(-3\right)y=2\times 10$$

פשט.

$$12x+18y=48,12x-6y=20$$

החסר את ‎12x-6y=20 מ- ‎12x+18y=48 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x+18y+6y=48-20$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$18y+6y=48-20$$

הוסף את ‎18y ל- ‎6y.

$$24y=48-20$$

הוסף את ‎48 ל- ‎-20.

$$24y=28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎24.

$$y=\frac{7}{6}$$

השתמש ב- ‎\frac{7}{6} במקום y ב- ‎6x-3y=10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x-3\times \frac{7}{6}=10$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{7}{6}.

$$6x-\frac{7}{2}=10$$

הוסף ‎\frac{7}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$6x=\frac{27}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{9}{4}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$