פתור את {l}{2x+3y=6}{6x+5y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 6 } \\ { 6 x + 5 y = 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{3}{8}=-0.375$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=6,6x+5y=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=6$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{2}+3 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x+5y=9.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)+5y=9$$

הכפל את ‎6 ב- ‎-\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18+5y=9$$

הוסף את ‎-9y ל- ‎5y.

$$-4y+18=9$$

החסר ‎18 משני אגפי המשוואה.

$$-4y=-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=\frac{9}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{9}{4} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{9}{4}+3$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎\frac{9}{4} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{27}{8}+3$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-\frac{27}{8}.

$$x=-\frac{3}{8}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{3}{8},y=\frac{9}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=6,6x+5y=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 6}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 6}\\-\frac{6}{2\times 5-3\times 6}&\frac{2}{2\times 5-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}\times 6+\frac{3}{8}\times 9\\\frac{3}{4}\times 6-\frac{1}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8}\\\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{3}{8},y=\frac{9}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=6,6x+5y=9$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\times 5y=2\times 9$$

פשט.

$$12x+18y=36,12x+10y=18$$

החסר את ‎12x+10y=18 מ- ‎12x+18y=36 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x+18y-10y=36-18$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$18y-10y=36-18$$

הוסף את ‎18y ל- ‎-10y.

$$8y=36-18$$

הוסף את ‎36 ל- ‎-18.

$$8y=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$y=\frac{9}{4}$$

השתמש ב- ‎\frac{9}{4} במקום y ב- ‎6x+5y=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x+5\times \frac{9}{4}=9$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{9}{4}.

$$6x+\frac{45}{4}=9$$

החסר ‎\frac{45}{4} משני אגפי המשוואה.

$$6x=-\frac{9}{4}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=-\frac{3}{8}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{3}{8},y=\frac{9}{4}$$