פתור את {l}{2x+3y=57}{3x-5y=81/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 57 } \\ { 3 x - 5 y = 8 \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{621}{38} = 16\frac{13}{38} \approx 16.342105263$$

$$y = \frac{154}{19} = 8\frac{2}{19} \approx 8.105263158$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=57,3x-5y=\frac{17}{2}$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=57$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+57$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+57\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+57.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{57}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+57}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-5y=\frac{17}{2}.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{57}{2}\right)-5y=\frac{17}{2}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-3y+57}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{171}{2}-5y=\frac{17}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{2} ל- ‎-5y.

$$-\frac{19}{2}y+\frac{171}{2}=\frac{17}{2}$$

החסר ‎\frac{171}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{19}{2}y=-77$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{19}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{154}{19}$$

השתמש ב- ‎\frac{154}{19} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+\frac{57}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{154}{19}+\frac{57}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎\frac{154}{19} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{231}{19}+\frac{57}{2}$$

הוסף את ‎\frac{57}{2} ל- ‎-\frac{231}{19} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{621}{38}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{621}{38},y=\frac{154}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=57,3x-5y=\frac{17}{2}$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}57\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 57+\frac{3}{19}\times \frac{17}{2}\\\frac{3}{19}\times 57-\frac{2}{19}\times \frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{621}{38}\\\frac{154}{19}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{621}{38},y=\frac{154}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=57,3x-5y=\frac{17}{2}$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 57,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times \frac{17}{2}$$

פשט.

$$6x+9y=171,6x-10y=17$$

החסר את ‎6x-10y=17 מ- ‎6x+9y=171 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+9y+10y=171-17$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$9y+10y=171-17$$

הוסף את ‎9y ל- ‎10y.

$$19y=171-17$$

הוסף את ‎171 ל- ‎-17.

$$19y=154$$

חלק את שני האגפים ב- ‎19.

$$y=\frac{154}{19}$$

השתמש ב- ‎\frac{154}{19} במקום y ב- ‎3x-5y=\frac{17}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-5\times \frac{154}{19}=\frac{17}{2}$$

הכפל את ‎-5 ב- ‎\frac{154}{19}.

$$3x-\frac{770}{19}=\frac{17}{2}$$

הוסף ‎\frac{770}{19} לשני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{1863}{38}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{621}{38}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{621}{38},y=\frac{154}{19}$$