פתור את {l}{2x+3y=5}{7x=4y-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 4 y - 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{11}{29}\approx 0.379310345$$

$$y = \frac{41}{29} = 1\frac{12}{29} \approx 1.413793103$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎4y משני האגפים.

$$7x-4y=-3$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=5,7x-4y=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=5$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+5}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x-4y=-3.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-4y=-3$$

הכפל את ‎7 ב- ‎\frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-4y=-3$$

הוסף את ‎-\frac{21y}{2} ל- ‎-4y.

$$-\frac{29}{2}y+\frac{35}{2}=-3$$

החסר ‎\frac{35}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{29}{2}y=-\frac{41}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{29}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{41}{29}$$

השתמש ב- ‎\frac{41}{29} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{41}{29}+\frac{5}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎\frac{41}{29} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{123}{58}+\frac{5}{2}$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎-\frac{123}{58} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{11}{29}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{11}{29},y=\frac{41}{29}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎4y משני האגפים.

$$7x-4y=-3$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=5,7x-4y=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 7}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{2\left(-4\right)-3\times 7}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\times 5+\frac{3}{29}\left(-3\right)\\\frac{7}{29}\times 5-\frac{2}{29}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{29}\\\frac{41}{29}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{11}{29},y=\frac{41}{29}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎4y משני האגפים.

$$7x-4y=-3$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=5,7x-4y=-3$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2\left(-4\right)y=2\left(-3\right)$$

פשט.

$$14x+21y=35,14x-8y=-6$$

החסר את ‎14x-8y=-6 מ- ‎14x+21y=35 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$14x-14x+21y+8y=35+6$$

הוסף את ‎14x ל- ‎-14x. האיברים ‎14x ו- ‎-14x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$21y+8y=35+6$$

הוסף את ‎21y ל- ‎8y.

$$29y=35+6$$

הוסף את ‎35 ל- ‎6.

$$29y=41$$

חלק את שני האגפים ב- ‎29.

$$y=\frac{41}{29}$$

השתמש ב- ‎\frac{41}{29} במקום y ב- ‎7x-4y=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$7x-4\times \frac{41}{29}=-3$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎\frac{41}{29}.

$$7x-\frac{164}{29}=-3$$

הוסף ‎\frac{164}{29} לשני אגפי המשוואה.

$$7x=\frac{77}{29}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{11}{29}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{11}{29},y=\frac{41}{29}$$