פתור את {l}{2x+3y=5}{3x+2y=76}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 76 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{218}{5} = 43\frac{3}{5} = 43.6$$

$$y = -\frac{137}{5} = -27\frac{2}{5} = -27.4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=5,3x+2y=76$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=5$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+5}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+2y=76.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+2y=76$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}+2y=76$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{2} ל- ‎2y.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=76$$

החסר ‎\frac{15}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{5}{2}y=\frac{137}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{5}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{137}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{137}{5} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{137}{5}\right)+\frac{5}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎-\frac{137}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{411}{10}+\frac{5}{2}$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎\frac{411}{10} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{218}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{218}{5},y=-\frac{137}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=5,3x+2y=76$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}&\frac{2}{2\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\76\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 5+\frac{3}{5}\times 76\\\frac{3}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 76\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{218}{5}\\-\frac{137}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{218}{5},y=-\frac{137}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=5,3x+2y=76$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 5,2\times 3x+2\times 2y=2\times 76$$

פשט.

$$6x+9y=15,6x+4y=152$$

החסר את ‎6x+4y=152 מ- ‎6x+9y=15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+9y-4y=15-152$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$9y-4y=15-152$$

הוסף את ‎9y ל- ‎-4y.

$$5y=15-152$$

הוסף את ‎15 ל- ‎-152.

$$5y=-137$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=-\frac{137}{5}$$

השתמש ב- ‎-\frac{137}{5} במקום y ב- ‎3x+2y=76. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+2\left(-\frac{137}{5}\right)=76$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{137}{5}.

$$3x-\frac{274}{5}=76$$

הוסף ‎\frac{274}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{654}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{218}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{218}{5},y=-\frac{137}{5}$$