פתור את {l}{2x+3y=5}{3x+12y=70}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 12 y = 70 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-10$$

$$y = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} \approx 8.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=5,3x+12y=70$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=5$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+5.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+5}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+12y=70.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+12y=70$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-3y+5}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}+12y=70$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{2} ל- ‎12y.

$$\frac{15}{2}y+\frac{15}{2}=70$$

החסר ‎\frac{15}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{15}{2}y=\frac{125}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{15}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{25}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{25}{3} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{25}{3}+\frac{5}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎\frac{25}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{-25+5}{2}$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎-\frac{25}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-10,y=\frac{25}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=5,3x+12y=70$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{2\times 12-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 12-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 12-3\times 3}&\frac{2}{2\times 12-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 5-\frac{1}{5}\times 70\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{15}\times 70\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\\frac{25}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-10,y=\frac{25}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=5,3x+12y=70$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 5,2\times 3x+2\times 12y=2\times 70$$

פשט.

$$6x+9y=15,6x+24y=140$$

החסר את ‎6x+24y=140 מ- ‎6x+9y=15 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+9y-24y=15-140$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$9y-24y=15-140$$

הוסף את ‎9y ל- ‎-24y.

$$-15y=15-140$$

הוסף את ‎15 ל- ‎-140.

$$-15y=-125$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-15.

$$y=\frac{25}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{25}{3} במקום y ב- ‎3x+12y=70. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+12\times \frac{25}{3}=70$$

הכפל את ‎12 ב- ‎\frac{25}{3}.

$$3x+100=70$$

החסר ‎100 משני אגפי המשוואה.

$$3x=-30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-10,y=\frac{25}{3}$$