פתור את {l}{2x+3y=4}{x+3y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 4 } \\ { x + 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-3$$

$$y = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=4,x+3y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=4$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+4.

$$x=-\frac{3}{2}y+2$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{2}+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+3y=7.

$$-\frac{3}{2}y+2+3y=7$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{2} ל- ‎3y.

$$\frac{3}{2}y+2=7$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{3}{2}y=5$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{3}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{10}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{10}{3} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{10}{3}+2$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎\frac{10}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-5+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-5.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=\frac{10}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=4,x+3y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3}&-\frac{3}{2\times 3-3}\\-\frac{1}{2\times 3-3}&\frac{2}{2\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4-7\\-\frac{1}{3}\times 4+\frac{2}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\\frac{10}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-3,y=\frac{10}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=4,x+3y=7$$

החסר את ‎x+3y=7 מ- ‎2x+3y=4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-x+3y-3y=4-7$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-3y. האיברים ‎3y ו- ‎-3y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2x-x=4-7$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-x.

$$x=4-7$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-7.

$$x=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום x ב- ‎x+3y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$-3+3y=7$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$3y=10$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=\frac{10}{3}$$