פתור את {l}{2x+3y=4}{3x+4y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 4 } \\ { 3 x + 4 y = 10 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=14$$

$$y=-8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=4,3x+4y=10$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=4$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+4.

$$x=-\frac{3}{2}y+2$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{2}+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+4y=10.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+2\right)+4y=10$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{3y}{2}+2.

$$-\frac{9}{2}y+6+4y=10$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{2} ל- ‎4y.

$$-\frac{1}{2}y+6=10$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{2}y=4$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=-8$$

השתמש ב- ‎-8 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-8\right)+2$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎-8.

$$x=12+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎12.

$$x=14$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=14,y=-8$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=4,3x+4y=10$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}&\frac{2}{2\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 4+3\times 10\\3\times 4-2\times 10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-8\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=14,y=-8$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=4,3x+4y=10$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 4,2\times 3x+2\times 4y=2\times 10$$

פשט.

$$6x+9y=12,6x+8y=20$$

החסר את ‎6x+8y=20 מ- ‎6x+9y=12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+9y-8y=12-20$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$9y-8y=12-20$$

הוסף את ‎9y ל- ‎-8y.

$$y=12-20$$

הוסף את ‎12 ל- ‎-20.

$$y=-8$$

השתמש ב- ‎-8 במקום y ב- ‎3x+4y=10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+4\left(-8\right)=10$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-8.

$$3x-32=10$$

הוסף ‎32 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=42$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=14$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=14,y=-8$$