פתור את {l}{2x+3y=20}{7x+2y=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 20 } \\ { 7 x + 2 y = 53 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=7$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=20$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+20\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+20.

$$x=-\frac{3}{2}y+10$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{2}+10 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x+2y=53.

$$7\left(-\frac{3}{2}y+10\right)+2y=53$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-\frac{3y}{2}+10.

$$-\frac{21}{2}y+70+2y=53$$

הוסף את ‎-\frac{21y}{2} ל- ‎2y.

$$-\frac{17}{2}y+70=53$$

החסר ‎70 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{17}{2}y=-17$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{17}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+10$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎2.

$$x=-3+10$$

הוסף את ‎10 ל- ‎-3.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 7}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 7}\\-\frac{7}{2\times 2-3\times 7}&\frac{2}{2\times 2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{7}{17}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\53\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}\times 20+\frac{3}{17}\times 53\\\frac{7}{17}\times 20-\frac{2}{17}\times 53\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=7,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=20,7x+2y=53$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 20,2\times 7x+2\times 2y=2\times 53$$

פשט.

$$14x+21y=140,14x+4y=106$$

החסר את ‎14x+4y=106 מ- ‎14x+21y=140 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$14x-14x+21y-4y=140-106$$

הוסף את ‎14x ל- ‎-14x. האיברים ‎14x ו- ‎-14x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$21y-4y=140-106$$

הוסף את ‎21y ל- ‎-4y.

$$17y=140-106$$

הוסף את ‎140 ל- ‎-106.

$$17y=34$$

חלק את שני האגפים ב- ‎17.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎7x+2y=53. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$7x+2\times 2=53$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$7x+4=53$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$7x=49$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=7,y=2$$