פתור את {l}{2x+3y=2}{4x+16y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 2 } \\ { 4 x + 16 y = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{23}{20} = 1\frac{3}{20} = 1.15$$

$$y=-\frac{1}{10}=-0.1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=2$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+2.

$$x=-\frac{3}{2}y+1$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{2}+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+16y=3.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+1\right)+16y=3$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-\frac{3y}{2}+1.

$$-6y+4+16y=3$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎16y.

$$10y+4=3$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$10y=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$y=-\frac{1}{10}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{10} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{10}\right)+1$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎-\frac{1}{10} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{3}{20}+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎\frac{3}{20}.

$$x=\frac{23}{20}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{2\times 16-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 16-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 16-3\times 4}&\frac{2}{2\times 16-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{3}{20}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 2-\frac{3}{20}\times 3\\-\frac{1}{5}\times 2+\frac{1}{10}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{20}\\-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 2,2\times 4x+2\times 16y=2\times 3$$

פשט.

$$8x+12y=8,8x+32y=6$$

החסר את ‎8x+32y=6 מ- ‎8x+12y=8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x+12y-32y=8-6$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$12y-32y=8-6$$

הוסף את ‎12y ל- ‎-32y.

$$-20y=8-6$$

הוסף את ‎8 ל- ‎-6.

$$-20y=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-20.

$$y=-\frac{1}{10}$$

השתמש ב- ‎-\frac{1}{10} במקום y ב- ‎4x+16y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+16\left(-\frac{1}{10}\right)=3$$

הכפל את ‎16 ב- ‎-\frac{1}{10}.

$$4x-\frac{8}{5}=3$$

הוסף ‎\frac{8}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$4x=\frac{23}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{23}{20}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$