פתור את {l}{2x+3y=19}{4x+11y=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 19 } \\ { 4 x + 11 y = 53 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=19,4x+11y=53$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=19$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+19$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+19\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+19.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{19}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+19}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+11y=53.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+\frac{19}{2}\right)+11y=53$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{-3y+19}{2}.

$$-6y+38+11y=53$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎11y.

$$5y+38=53$$

החסר ‎38 משני אגפי המשוואה.

$$5y=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+\frac{19}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{19}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎3.

$$x=\frac{-9+19}{2}$$

הוסף את ‎\frac{19}{2} ל- ‎-\frac{9}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=19,4x+11y=53$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2\times 11-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 11-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 11-3\times 4}&\frac{2}{2\times 11-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{10}&-\frac{3}{10}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{10}\times 19-\frac{3}{10}\times 53\\-\frac{2}{5}\times 19+\frac{1}{5}\times 53\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=19,4x+11y=53$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 19,2\times 4x+2\times 11y=2\times 53$$

פשט.

$$8x+12y=76,8x+22y=106$$

החסר את ‎8x+22y=106 מ- ‎8x+12y=76 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x+12y-22y=76-106$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$12y-22y=76-106$$

הוסף את ‎12y ל- ‎-22y.

$$-10y=76-106$$

הוסף את ‎76 ל- ‎-106.

$$-10y=-30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎4x+11y=53. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+11\times 3=53$$

הכפל את ‎11 ב- ‎3.

$$4x+33=53$$

החסר ‎33 משני אגפי המשוואה.

$$4x=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=3$$