פתור את {l}{2x+3y=1520}{3x+2y=1700}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 1520 } \\ { 3 x + 2 y = 1700 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=412$$

$$y=232$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=1520,3x+2y=1700$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=1520$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+1520$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+1520\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+1520.

$$x=-\frac{3}{2}y+760$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{2}+760 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+2y=1700.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+760\right)+2y=1700$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{3y}{2}+760.

$$-\frac{9}{2}y+2280+2y=1700$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{2} ל- ‎2y.

$$-\frac{5}{2}y+2280=1700$$

החסר ‎2280 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{5}{2}y=-580$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{5}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=232$$

השתמש ב- ‎232 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+760. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\times 232+760$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎232.

$$x=-348+760$$

הוסף את ‎760 ל- ‎-348.

$$x=412$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=412,y=232$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=1520,3x+2y=1700$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1520\\1700\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1520\\1700\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1520\\1700\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1520\\1700\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-3\times 3}&\frac{2}{2\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1520\\1700\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1520\\1700\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 1520+\frac{3}{5}\times 1700\\\frac{3}{5}\times 1520-\frac{2}{5}\times 1700\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}412\\232\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=412,y=232$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=1520,3x+2y=1700$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 1520,2\times 3x+2\times 2y=2\times 1700$$

פשט.

$$6x+9y=4560,6x+4y=3400$$

החסר את ‎6x+4y=3400 מ- ‎6x+9y=4560 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+9y-4y=4560-3400$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$9y-4y=4560-3400$$

הוסף את ‎9y ל- ‎-4y.

$$5y=4560-3400$$

הוסף את ‎4560 ל- ‎-3400.

$$5y=1160$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=232$$

השתמש ב- ‎232 במקום y ב- ‎3x+2y=1700. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+2\times 232=1700$$

הכפל את ‎2 ב- ‎232.

$$3x+464=1700$$

החסר ‎464 משני אגפי המשוואה.

$$3x=1236$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=412$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=412,y=232$$