פתור את {l}{2x+3y=15}{5x+4y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 15 } \\ { 5 x + 4 y = 13 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-3$$

$$y=7$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=15,5x+4y=13$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=15$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+15\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+15.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+15}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+4y=13.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}\right)+4y=13$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{-3y+15}{2}.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{75}{2}+4y=13$$

הוסף את ‎-\frac{15y}{2} ל- ‎4y.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{75}{2}=13$$

החסר ‎\frac{75}{2} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{7}{2}y=-\frac{49}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{7}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\times 7+\frac{15}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎7.

$$x=\frac{-21+15}{2}$$

הוסף את ‎\frac{15}{2} ל- ‎-\frac{21}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=15,5x+4y=13$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 4-3\times 5}&\frac{2}{2\times 4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 15+\frac{3}{7}\times 13\\\frac{5}{7}\times 15-\frac{2}{7}\times 13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-3,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=15,5x+4y=13$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 15,2\times 5x+2\times 4y=2\times 13$$

פשט.

$$10x+15y=75,10x+8y=26$$

החסר את ‎10x+8y=26 מ- ‎10x+15y=75 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x+15y-8y=75-26$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$15y-8y=75-26$$

הוסף את ‎15y ל- ‎-8y.

$$7y=75-26$$

הוסף את ‎75 ל- ‎-26.

$$7y=49$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎5x+4y=13. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+4\times 7=13$$

הכפל את ‎4 ב- ‎7.

$$5x+28=13$$

החסר ‎28 משני אגפי המשוואה.

$$5x=-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=7$$