פתור את {l}{2x+3y=100}{x+y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 100 } \\ { x + y = 42 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=26$$

$$y=16$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y=100,x+y=42$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y=100$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y+100$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+100\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y+100.

$$x=-\frac{3}{2}y+50$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{2}+50 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+y=42.

$$-\frac{3}{2}y+50+y=42$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{2} ל- ‎y.

$$-\frac{1}{2}y+50=42$$

החסר ‎50 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{2}y=-8$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=16$$

השתמש ב- ‎16 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y+50. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\times 16+50$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎16.

$$x=-24+50$$

הוסף את ‎50 ל- ‎-24.

$$x=26$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=26,y=16$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y=100,x+y=42$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3}&-\frac{3}{2-3}\\-\frac{1}{2-3}&\frac{2}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-100+3\times 42\\100-2\times 42\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\16\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=26,y=16$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y=100,x+y=42$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$2x+3y=100,2x+2y=2\times 42$$

פשט.

$$2x+3y=100,2x+2y=84$$

החסר את ‎2x+2y=84 מ- ‎2x+3y=100 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+3y-2y=100-84$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y-2y=100-84$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-2y.

$$y=100-84$$

הוסף את ‎100 ל- ‎-84.

$$y=16$$

השתמש ב- ‎16 במקום y ב- ‎x+y=42. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+16=42$$

החסר ‎16 משני אגפי המשוואה.

$$x=26$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=26,y=16$$