פתור את {l}{2x+3y+5=0}{3x-2y-12=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y + 5 = 0 } \\ { 3 x - 2 y - 12 = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+3y+5=0,3x-2y-12=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+3y+5=0$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$2x+3y=-5$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-3y-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y-5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3y-5.

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y-5}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-2y-12=0.

$$3\left(-\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)-2y-12=0$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-3y-5}{2}.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{15}{2}-2y-12=0$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{2} ל- ‎-2y.

$$-\frac{13}{2}y-\frac{15}{2}-12=0$$

הוסף את ‎-\frac{15}{2} ל- ‎-12.

$$-\frac{13}{2}y-\frac{39}{2}=0$$

הוסף ‎\frac{39}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{13}{2}y=\frac{39}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{13}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-3\right)-\frac{5}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎-3.

$$x=\frac{9-5}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{2} ל- ‎\frac{9}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+3y+5=0,3x-2y-12=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-5\right)+\frac{3}{13}\times 12\\\frac{3}{13}\left(-5\right)-\frac{2}{13}\times 12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+3y+5=0,3x-2y-12=0$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$3\times 2x+3\times 3y+3\times 5=0,2\times 3x+2\left(-2\right)y+2\left(-12\right)=0$$

פשט.

$$6x+9y+15=0,6x-4y-24=0$$

החסר את ‎6x-4y-24=0 מ- ‎6x+9y+15=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+9y+4y+15+24=0$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$9y+4y+15+24=0$$

הוסף את ‎9y ל- ‎4y.

$$13y+15+24=0$$

הוסף את ‎15 ל- ‎24.

$$13y+39=0$$

החסר ‎39 משני אגפי המשוואה.

$$13y=-39$$

חלק את שני האגפים ב- ‎13.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎3x-2y-12=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-2\left(-3\right)-12=0$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎-3.

$$3x+6-12=0$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-12.

$$3x-6=0$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$3x=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=-3$$