פתור את {l}{2x+2y=28}{x+3y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 28 } \\ { x + 3 y = 24 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=9$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x+2y=28,x+3y=24$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x+2y=28$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$2x=-2y+28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+28\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-2y+28.

$$x=-y+14$$

השתמש ב- ‎-y+14 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+3y=24.

$$-y+14+3y=24$$

הוסף את ‎-y ל- ‎3y.

$$2y+14=24$$

החסר ‎14 משני אגפי המשוואה.

$$2y=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x=-y+14. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-5+14$$

הוסף את ‎14 ל- ‎-5.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x+2y=28,x+3y=24$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2}&-\frac{2}{2\times 3-2}\\-\frac{1}{2\times 3-2}&\frac{2}{2\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 28-\frac{1}{2}\times 24\\-\frac{1}{4}\times 28+\frac{1}{2}\times 24\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=9,y=5$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x+2y=28,x+3y=24$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$2x+2y=28,2x+2\times 3y=2\times 24$$

פשט.

$$2x+2y=28,2x+6y=48$$

החסר את ‎2x+6y=48 מ- ‎2x+2y=28 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+2y-6y=28-48$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y-6y=28-48$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-6y.

$$-4y=28-48$$

הוסף את ‎28 ל- ‎-48.

$$-4y=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$y=5$$

השתמש ב- ‎5 במקום y ב- ‎x+3y=24. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+3\times 5=24$$

הכפל את ‎3 ב- ‎5.

$$x+15=24$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$x=9$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=9,y=5$$