פתור את {l}{2bx+ay=2ab}{bx-ay=4ab}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 b x + a y = 2 a b } \\ { b x - a y = 4 a b } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2bx+ay=2ab$$

החסר ‎ay משני אגפי המשוואה.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2b.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2b} ב- ‎a\left(-y+2b\right).

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

השתמש ב- ‎a-\frac{ay}{2b} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎bx+\left(-a\right)y=4ab.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

הכפל את ‎b ב- ‎a-\frac{ay}{2b}.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

הוסף את ‎-\frac{ay}{2} ל- ‎-ay.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

החסר ‎ba משני אגפי המשוואה.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-\frac{3a}{2}.

$$y=-2b$$

השתמש ב- ‎-2b במקום y ב- ‎x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

הכפל את ‎-\frac{a}{2b} ב- ‎-2b.

$$x=a+a$$

הוסף את ‎a ל- ‎a.

$$x=2a$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2a,y=-2b$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2a,y=-2b$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

כדי להפוך את ‎2bx ו- ‎bx לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎b ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2b.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

פשט.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

החסר את ‎2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} מ- ‎2b^{2}x+aby=2ab^{2} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

הוסף את ‎2b^{2}x ל- ‎-2b^{2}x. האיברים ‎2b^{2}x ו- ‎-2b^{2}x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

הוסף את ‎bay ל- ‎2bay.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

הוסף את ‎2ab^{2} ל- ‎-8ab^{2}.

$$3aby=-6ab^{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3ba.

$$y=-2b$$

השתמש ב- ‎-2b במקום y ב- ‎bx+\left(-a\right)y=4ab. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

הכפל את ‎-a ב- ‎-2b.

$$bx+2ab=4ab$$

החסר ‎2ba משני אגפי המשוואה.

$$bx=2ab$$

חלק את שני האגפים ב- ‎b.

$$x=2a$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2a,y=-2b$$

פתור עבור x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2bx+ay=2ab$$

החסר ‎ay משני אגפי המשוואה.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2b.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2b} ב- ‎a\left(-y+2b\right).

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

השתמש ב- ‎a-\frac{ay}{2b} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎bx+\left(-a\right)y=4ab.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

הכפל את ‎b ב- ‎a-\frac{ay}{2b}.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

הוסף את ‎-\frac{ay}{2} ל- ‎-ay.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

החסר ‎ba משני אגפי המשוואה.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-\frac{3a}{2}.

$$y=-2b$$

השתמש ב- ‎-2b במקום y ב- ‎x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

הכפל את ‎-\frac{a}{2b} ב- ‎-2b.

$$x=a+a$$

הוסף את ‎a ל- ‎a.

$$x=2a$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2a,y=-2b$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2a,y=-2b$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

כדי להפוך את ‎2bx ו- ‎bx לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎b ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2b.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

פשט.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

החסר את ‎2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} מ- ‎2b^{2}x+aby=2ab^{2} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

הוסף את ‎2b^{2}x ל- ‎-2b^{2}x. האיברים ‎2b^{2}x ו- ‎-2b^{2}x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

הוסף את ‎bay ל- ‎2bay.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

הוסף את ‎2ab^{2} ל- ‎-8ab^{2}.

$$3aby=-6ab^{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3ba.

$$y=-2b$$

השתמש ב- ‎-2b במקום y ב- ‎bx+\left(-a\right)y=4ab. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

הכפל את ‎-a ב- ‎-2b.

$$bx+2ab=4ab$$

החסר ‎2ba משני אגפי המשוואה.

$$bx=2ab$$

חלק את שני האגפים ב- ‎b.

$$x=2a$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2a,y=-2b$$