פתור את {l}{2a+3b=0}{2a+5b=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 0 } \\ { 2 a + 5 b = 16 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=-12$$

$$b=8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2a+3b=0,2a+5b=16$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2a+3b=0$$

החסר ‎3b משני אגפי המשוואה.

$$2a=-3b$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-3\right)b$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-3b.

$$a=-\frac{3}{2}b$$

השתמש ב- ‎-\frac{3b}{2} במקום ‎a במשוואה השניה, ‎2a+5b=16.

$$2\left(-\frac{3}{2}\right)b+5b=16$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{3b}{2}.

$$-3b+5b=16$$

הוסף את ‎-3b ל- ‎5b.

$$2b=16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$b=8$$

השתמש ב- ‎8 במקום b ב- ‎a=-\frac{3}{2}b. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-\frac{3}{2}\times 8$$

הכפל את ‎-\frac{3}{2} ב- ‎8.

$$a=-12$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=-12,b=8$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2a+3b=0,2a+5b=16$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{2\times 5-3\times 2}&\frac{2}{2\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 16\\\frac{1}{2}\times 16\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\8\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=-12,b=8$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2a+3b=0,2a+5b=16$$

החסר את ‎2a+5b=16 מ- ‎2a+3b=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2a-2a+3b-5b=-16$$

הוסף את ‎2a ל- ‎-2a. האיברים ‎2a ו- ‎-2a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3b-5b=-16$$

הוסף את ‎3b ל- ‎-5b.

$$-2b=-16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$b=8$$

השתמש ב- ‎8 במקום b ב- ‎2a+5b=16. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$2a+5\times 8=16$$

הכפל את ‎5 ב- ‎8.

$$2a+40=16$$

החסר ‎40 משני אגפי המשוואה.

$$2a=-24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$a=-12$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=-12,b=8$$