פתור את {l}{2X-2+4Y=1/2}{8(Y-1/2)=9(X+1)-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 X - 2 + 4 Y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( Y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( X + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

פתור עבור X, Y

$$X=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$Y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2 משני הצדדים.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

חבר את ‎\frac{1}{2} ו- ‎2 כדי לקבל ‎\frac{5}{2}.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 8 ב- Y-\frac{1}{2}.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 9 ב- X+1.

$$8Y-4=9X+9-4$$

החסר את 4 מ- 9 כדי לקבל 5.

$$8Y-4=9X+5$$

החסר ‎9X משני האגפים.

$$8Y-4-9X=5$$

הוסף ‎4 משני הצדדים.

$$8Y-9X=5+4$$

חבר את ‎5 ו- ‎4 כדי לקבל ‎9.

$$8Y-9X=9$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור X על-ידי בידוד X בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

החסר ‎4Y משני אגפי המשוואה.

$$2X=-4Y+\frac{5}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$X=\frac{1}{2}\left(-4Y+\frac{5}{2}\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎-4Y+\frac{5}{2}.

$$X=-2Y+\frac{5}{4}$$

השתמש ב- ‎-2Y+\frac{5}{4} במקום ‎X במשוואה השניה, ‎-9X+8Y=9.

$$-9\left(-2Y+\frac{5}{4}\right)+8Y=9$$

הכפל את ‎-9 ב- ‎-2Y+\frac{5}{4}.

$$18Y-\frac{45}{4}+8Y=9$$

הוסף את ‎18Y ל- ‎8Y.

$$26Y-\frac{45}{4}=9$$

הוסף ‎\frac{45}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$26Y=\frac{81}{4}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎26.

$$Y=\frac{81}{104}$$

השתמש ב- ‎\frac{81}{104} במקום Y ב- ‎X=-2Y+\frac{5}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את X ישירות.

$$X=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{81}{104}.

$$X=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

הוסף את ‎\frac{5}{4} ל- ‎-\frac{81}{52} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$X=-\frac{4}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2 משני הצדדים.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

חבר את ‎\frac{1}{2} ו- ‎2 כדי לקבל ‎\frac{5}{2}.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 8 ב- Y-\frac{1}{2}.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 9 ב- X+1.

$$8Y-4=9X+9-4$$

החסר את 4 מ- 9 כדי לקבל 5.

$$8Y-4=9X+5$$

החסר ‎9X משני האגפים.

$$8Y-4-9X=5$$

הוסף ‎4 משני הצדדים.

$$8Y-9X=5+4$$

חבר את ‎5 ו- ‎4 כדי לקבל ‎9.

$$8Y-9X=9$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה X ו- Y.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. הוסף ‎2 משני הצדדים.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

חבר את ‎\frac{1}{2} ו- ‎2 כדי לקבל ‎\frac{5}{2}.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 8 ב- Y-\frac{1}{2}.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 9 ב- X+1.

$$8Y-4=9X+9-4$$

החסר את 4 מ- 9 כדי לקבל 5.

$$8Y-4=9X+5$$

החסר ‎9X משני האגפים.

$$8Y-4-9X=5$$

הוסף ‎4 משני הצדדים.

$$8Y-9X=5+4$$

חבר את ‎5 ו- ‎4 כדי לקבל ‎9.

$$8Y-9X=9$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

כדי להפוך את ‎2X ו- ‎-9X לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-9 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$-9\times 2X-9\times 4Y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)X+2\times 8Y=2\times 9$$

פשט.

$$-18X-36Y=-\frac{45}{2},-18X+16Y=18$$

החסר את ‎-18X+16Y=18 מ- ‎-18X-36Y=-\frac{45}{2} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-18X+18X-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

הוסף את ‎-18X ל- ‎18X. האיברים ‎-18X ו- ‎18X מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

הוסף את ‎-36Y ל- ‎-16Y.

$$-52Y=-\frac{45}{2}-18$$

הוסף את ‎-\frac{45}{2} ל- ‎-18.

$$-52Y=-\frac{81}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-52.

$$Y=\frac{81}{104}$$

השתמש ב- ‎\frac{81}{104} במקום Y ב- ‎-9X+8Y=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את X ישירות.

$$-9X+8\times \frac{81}{104}=9$$

הכפל את ‎8 ב- ‎\frac{81}{104}.

$$-9X+\frac{81}{13}=9$$

החסר ‎\frac{81}{13} משני אגפי המשוואה.

$$-9X=\frac{36}{13}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-9.

$$X=-\frac{4}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$