פתור את {l}{2(3x+y)=1/2}{1/2(2x+8y)=3/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 ( 3 x + y ) = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( 2 x + 8 y ) = \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{1}{22}\approx -0.045454545$$

$$y=\frac{17}{44}\approx 0.386363636$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

בטא את ‎\frac{\frac{1}{2}}{2} כשבר אחד.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ו- ‎2 כדי לקבל ‎4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני האגפים ב- ‎2, ההופכי של ‎\frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ו- ‎2 כדי לקבל ‎3.

$$2x+8y=3$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$3x=-y+\frac{1}{4}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+\frac{1}{4}\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{3} ב- ‎-y+\frac{1}{4}.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{3}+\frac{1}{12} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+8y=3.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}\right)+8y=3$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{y}{3}+\frac{1}{12}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{1}{6}+8y=3$$

הוסף את ‎-\frac{2y}{3} ל- ‎8y.

$$\frac{22}{3}y+\frac{1}{6}=3$$

החסר ‎\frac{1}{6} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{22}{3}y=\frac{17}{6}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{22}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{17}{44}$$

השתמש ב- ‎\frac{17}{44} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{17}{44}+\frac{1}{12}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎\frac{17}{44} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{17}{132}+\frac{1}{12}$$

הוסף את ‎\frac{1}{12} ל- ‎-\frac{17}{132} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{1}{22}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

בטא את ‎\frac{\frac{1}{2}}{2} כשבר אחד.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ו- ‎2 כדי לקבל ‎4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני האגפים ב- ‎2, ההופכי של ‎\frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ו- ‎2 כדי לקבל ‎3.

$$2x+8y=3$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2}&-\frac{1}{3\times 8-2}\\-\frac{2}{3\times 8-2}&\frac{3}{3\times 8-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times \frac{1}{4}-\frac{1}{22}\times 3\\-\frac{1}{11}\times \frac{1}{4}+\frac{3}{22}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22}\\\frac{17}{44}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

בטא את ‎\frac{\frac{1}{2}}{2} כשבר אחד.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ו- ‎2 כדי לקבל ‎4.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

שקול את המשוואה השניה. הכפל את שני האגפים ב- ‎2, ההופכי של ‎\frac{1}{2}.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ו- ‎2 כדי לקבל ‎3.

$$2x+8y=3$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

כדי להפוך את ‎3x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎3.

$$2\times 3x+2y=2\times \frac{1}{4},3\times 2x+3\times 8y=3\times 3$$

פשט.

$$6x+2y=\frac{1}{2},6x+24y=9$$

החסר את ‎6x+24y=9 מ- ‎6x+2y=\frac{1}{2} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6x-6x+2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

הוסף את ‎6x ל- ‎-6x. האיברים ‎6x ו- ‎-6x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-24y.

$$-22y=\frac{1}{2}-9$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎-9.

$$-22y=-\frac{17}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-22.

$$y=\frac{17}{44}$$

השתמש ב- ‎\frac{17}{44} במקום y ב- ‎2x+8y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+8\times \frac{17}{44}=3$$

הכפל את ‎8 ב- ‎\frac{17}{44}.

$$2x+\frac{34}{11}=3$$

החסר ‎\frac{34}{11} משני אגפי המשוואה.

$$2x=-\frac{1}{11}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-\frac{1}{22}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$