פתור את {l}{18x+15y=12}{30x-15y=-100}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 x + 15 y = 12 } \\ { 30 x - 15 y = - 100 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{11}{6} = -1\frac{5}{6} \approx -1.833333333$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$18x+15y=12,30x-15y=-100$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$18x+15y=12$$

החסר ‎15y משני אגפי המשוואה.

$$18x=-15y+12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎18.

$$x=\frac{1}{18}\left(-15y+12\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{18} ב- ‎-15y+12.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5y}{6}+\frac{2}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎30x-15y=-100.

$$30\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3}\right)-15y=-100$$

הכפל את ‎30 ב- ‎-\frac{5y}{6}+\frac{2}{3}.

$$-25y+20-15y=-100$$

הוסף את ‎-25y ל- ‎-15y.

$$-40y+20=-100$$

החסר ‎20 משני אגפי המשוואה.

$$-40y=-120$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-40.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{6}\times 3+\frac{2}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{6} ב- ‎3.

$$x=-\frac{5}{2}+\frac{2}{3}$$

הוסף את ‎\frac{2}{3} ל- ‎-\frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{11}{6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{11}{6},y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$18x+15y=12,30x-15y=-100$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}18&15\\30&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-100\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}18&15\\30&-15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&15\\30&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&15\\30&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&15\\30&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-100\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&15\\30&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-100\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&15\\30&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-100\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{18\left(-15\right)-15\times 30}&-\frac{15}{18\left(-15\right)-15\times 30}\\-\frac{30}{18\left(-15\right)-15\times 30}&\frac{18}{18\left(-15\right)-15\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-100\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{48}&\frac{1}{48}\\\frac{1}{24}&-\frac{1}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-100\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{48}\times 12+\frac{1}{48}\left(-100\right)\\\frac{1}{24}\times 12-\frac{1}{40}\left(-100\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{6}\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{11}{6},y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$18x+15y=12,30x-15y=-100$$

כדי להפוך את ‎18x ו- ‎30x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎30 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎18.

$$30\times 18x+30\times 15y=30\times 12,18\times 30x+18\left(-15\right)y=18\left(-100\right)$$

פשט.

$$540x+450y=360,540x-270y=-1800$$

החסר את ‎540x-270y=-1800 מ- ‎540x+450y=360 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$540x-540x+450y+270y=360+1800$$

הוסף את ‎540x ל- ‎-540x. האיברים ‎540x ו- ‎-540x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$450y+270y=360+1800$$

הוסף את ‎450y ל- ‎270y.

$$720y=360+1800$$

הוסף את ‎360 ל- ‎1800.

$$720y=2160$$

חלק את שני האגפים ב- ‎720.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎30x-15y=-100. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$30x-15\times 3=-100$$

הכפל את ‎-15 ב- ‎3.

$$30x-45=-100$$

הוסף ‎45 לשני אגפי המשוואה.

$$30x=-55$$

חלק את שני האגפים ב- ‎30.

$$x=-\frac{11}{6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{11}{6},y=3$$