פתור את {l}{18=1200x+1600y}{17=600x+2400y}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 = 1200 x + 1600 y } \\ { 17 = 600 x + 2400 y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{1}{120}\approx 0.008333333$$

$$y=\frac{1}{200}=0.005$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$1200x+1600y=18$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$600x+2400y=17$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$1200x+1600y=18$$

החסר ‎1600y משני אגפי המשוואה.

$$1200x=-1600y+18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎1200.

$$x=\frac{1}{1200}\left(-1600y+18\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{1200} ב- ‎-1600y+18.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}$$

השתמש ב- ‎-\frac{4y}{3}+\frac{3}{200} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎600x+2400y=17.

$$600\left(-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}\right)+2400y=17$$

הכפל את ‎600 ב- ‎-\frac{4y}{3}+\frac{3}{200}.

$$-800y+9+2400y=17$$

הוסף את ‎-800y ל- ‎2400y.

$$1600y+9=17$$

החסר ‎9 משני אגפי המשוואה.

$$1600y=8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎1600.

$$y=\frac{1}{200}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{200} במקום y ב- ‎x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{1}{200}+\frac{3}{200}$$

הכפל את ‎-\frac{4}{3} ב- ‎\frac{1}{200} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{1}{150}+\frac{3}{200}$$

הוסף את ‎\frac{3}{200} ל- ‎-\frac{1}{150} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{1}{120}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$1200x+1600y=18$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$600x+2400y=17$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2400}{1200\times 2400-1600\times 600}&-\frac{1600}{1200\times 2400-1600\times 600}\\-\frac{600}{1200\times 2400-1600\times 600}&\frac{1200}{1200\times 2400-1600\times 600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}&-\frac{1}{1200}\\-\frac{1}{3200}&\frac{1}{1600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}\times 18-\frac{1}{1200}\times 17\\-\frac{1}{3200}\times 18+\frac{1}{1600}\times 17\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{120}\\\frac{1}{200}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$1200x+1600y=18$$

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$600x+2400y=17$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

כדי להפוך את ‎1200x ו- ‎600x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎600 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1200.

$$600\times 1200x+600\times 1600y=600\times 18,1200\times 600x+1200\times 2400y=1200\times 17$$

פשט.

$$720000x+960000y=10800,720000x+2880000y=20400$$

החסר את ‎720000x+2880000y=20400 מ- ‎720000x+960000y=10800 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$720000x-720000x+960000y-2880000y=10800-20400$$

הוסף את ‎720000x ל- ‎-720000x. האיברים ‎720000x ו- ‎-720000x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$960000y-2880000y=10800-20400$$

הוסף את ‎960000y ל- ‎-2880000y.

$$-1920000y=10800-20400$$

הוסף את ‎10800 ל- ‎-20400.

$$-1920000y=-9600$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1920000.

$$y=\frac{1}{200}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{200} במקום y ב- ‎600x+2400y=17. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$600x+2400\times \frac{1}{200}=17$$

הכפל את ‎2400 ב- ‎\frac{1}{200}.

$$600x+12=17$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$600x=5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎600.

$$x=\frac{1}{120}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$