פתור את {l}{16x-7y=-7}{20x-19y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 7 y = - 7 } \\ { 20 x - 19 y = - 6 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{91}{164}\approx -0.554878049$$

$$y=-\frac{11}{41}\approx -0.268292683$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$16x-7y=-7$$

הוסף ‎7y לשני אגפי המשוואה.

$$16x=7y-7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎16.

$$x=\frac{1}{16}\left(7y-7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{16} ב- ‎-7+7y.

$$x=\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}$$

השתמש ב- ‎\frac{-7+7y}{16} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎20x-19y=-6.

$$20\left(\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}\right)-19y=-6$$

הכפל את ‎20 ב- ‎\frac{-7+7y}{16}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{35}{4}-19y=-6$$

הוסף את ‎\frac{35y}{4} ל- ‎-19y.

$$-\frac{41}{4}y-\frac{35}{4}=-6$$

הוסף ‎\frac{35}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{41}{4}y=\frac{11}{4}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{41}{4}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{11}{41}$$

השתמש ב- ‎-\frac{11}{41} במקום y ב- ‎x=\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{7}{16}\left(-\frac{11}{41}\right)-\frac{7}{16}$$

הכפל את ‎\frac{7}{16} ב- ‎-\frac{11}{41} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{77}{656}-\frac{7}{16}$$

הוסף את ‎-\frac{7}{16} ל- ‎-\frac{77}{656} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{91}{164}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}&-\frac{-7}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}\\-\frac{20}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}&\frac{16}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{164}&-\frac{7}{164}\\\frac{5}{41}&-\frac{4}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{164}\left(-7\right)-\frac{7}{164}\left(-6\right)\\\frac{5}{41}\left(-7\right)-\frac{4}{41}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{91}{164}\\-\frac{11}{41}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

כדי להפוך את ‎16x ו- ‎20x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎20 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎16.

$$20\times 16x+20\left(-7\right)y=20\left(-7\right),16\times 20x+16\left(-19\right)y=16\left(-6\right)$$

פשט.

$$320x-140y=-140,320x-304y=-96$$

החסר את ‎320x-304y=-96 מ- ‎320x-140y=-140 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$320x-320x-140y+304y=-140+96$$

הוסף את ‎320x ל- ‎-320x. האיברים ‎320x ו- ‎-320x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-140y+304y=-140+96$$

הוסף את ‎-140y ל- ‎304y.

$$164y=-140+96$$

הוסף את ‎-140 ל- ‎96.

$$164y=-44$$

חלק את שני האגפים ב- ‎164.

$$y=-\frac{11}{41}$$

השתמש ב- ‎-\frac{11}{41} במקום y ב- ‎20x-19y=-6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$20x-19\left(-\frac{11}{41}\right)=-6$$

הכפל את ‎-19 ב- ‎-\frac{11}{41}.

$$20x+\frac{209}{41}=-6$$

החסר ‎\frac{209}{41} משני אגפי המשוואה.

$$20x=-\frac{455}{41}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎20.

$$x=-\frac{91}{164}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$