פתור את {l}{16x-10y=10}{-8x-6y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 10 y = 10 } \\ { - 8 x - 6 y = 6 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$16x-10y=10$$

הוסף ‎10y לשני אגפי המשוואה.

$$16x=10y+10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎16.

$$x=\frac{1}{16}\left(10y+10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{16} ב- ‎10+10y.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}$$

השתמש ב- ‎\frac{5+5y}{8} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-8x-6y=6.

$$-8\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}\right)-6y=6$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎\frac{5+5y}{8}.

$$-5y-5-6y=6$$

הוסף את ‎-5y ל- ‎-6y.

$$-11y-5=6$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$-11y=11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-11.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{5}{8}\left(-1\right)+\frac{5}{8}$$

הכפל את ‎\frac{5}{8} ב- ‎-1.

$$x=\frac{-5+5}{8}$$

הוסף את ‎\frac{5}{8} ל- ‎-\frac{5}{8} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&-\frac{-10}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&\frac{16}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}&-\frac{5}{88}\\-\frac{1}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}\times 10-\frac{5}{88}\times 6\\-\frac{1}{22}\times 10-\frac{1}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=-1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

כדי להפוך את ‎16x ו- ‎-8x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎16.

$$-8\times 16x-8\left(-10\right)y=-8\times 10,16\left(-8\right)x+16\left(-6\right)y=16\times 6$$

פשט.

$$-128x+80y=-80,-128x-96y=96$$

החסר את ‎-128x-96y=96 מ- ‎-128x+80y=-80 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-128x+128x+80y+96y=-80-96$$

הוסף את ‎-128x ל- ‎128x. האיברים ‎-128x ו- ‎128x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$80y+96y=-80-96$$

הוסף את ‎80y ל- ‎96y.

$$176y=-80-96$$

הוסף את ‎-80 ל- ‎-96.

$$176y=-176$$

חלק את שני האגפים ב- ‎176.

$$y=-1$$

השתמש ב- ‎-1 במקום y ב- ‎-8x-6y=6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-8x-6\left(-1\right)=6$$

הכפל את ‎-6 ב- ‎-1.

$$-8x+6=6$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$-8x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-8.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=-1$$