פתור את {l}{15x+107y=1}{71x+179y=-287}

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 107 y = 1 } \\ { 71 x + 179 y = - 287 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{3861}{614} = -6\frac{177}{614} \approx -6.288273616$$

$$y=\frac{547}{614}\approx 0.890879479$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$15x+107y=1$$

החסר ‎107y משני אגפי המשוואה.

$$15x=-107y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎15.

$$x=\frac{1}{15}\left(-107y+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{15} ב- ‎-107y+1.

$$x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}$$

השתמש ב- ‎\frac{-107y+1}{15} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎71x+179y=-287.

$$71\left(-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}\right)+179y=-287$$

הכפל את ‎71 ב- ‎\frac{-107y+1}{15}.

$$-\frac{7597}{15}y+\frac{71}{15}+179y=-287$$

הוסף את ‎-\frac{7597y}{15} ל- ‎179y.

$$-\frac{4912}{15}y+\frac{71}{15}=-287$$

החסר ‎\frac{71}{15} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{4912}{15}y=-\frac{4376}{15}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{4912}{15}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{547}{614}$$

השתמש ב- ‎\frac{547}{614} במקום y ב- ‎x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{107}{15}\times \frac{547}{614}+\frac{1}{15}$$

הכפל את ‎-\frac{107}{15} ב- ‎\frac{547}{614} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{58529}{9210}+\frac{1}{15}$$

הוסף את ‎\frac{1}{15} ל- ‎-\frac{58529}{9210} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{179}{15\times 179-107\times 71}&-\frac{107}{15\times 179-107\times 71}\\-\frac{71}{15\times 179-107\times 71}&\frac{15}{15\times 179-107\times 71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}&\frac{107}{4912}\\\frac{71}{4912}&-\frac{15}{4912}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}+\frac{107}{4912}\left(-287\right)\\\frac{71}{4912}-\frac{15}{4912}\left(-287\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3861}{614}\\\frac{547}{614}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

כדי להפוך את ‎15x ו- ‎71x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎71 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎15.

$$71\times 15x+71\times 107y=71,15\times 71x+15\times 179y=15\left(-287\right)$$

פשט.

$$1065x+7597y=71,1065x+2685y=-4305$$

החסר את ‎1065x+2685y=-4305 מ- ‎1065x+7597y=71 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$1065x-1065x+7597y-2685y=71+4305$$

הוסף את ‎1065x ל- ‎-1065x. האיברים ‎1065x ו- ‎-1065x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$7597y-2685y=71+4305$$

הוסף את ‎7597y ל- ‎-2685y.

$$4912y=71+4305$$

הוסף את ‎71 ל- ‎4305.

$$4912y=4376$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4912.

$$y=\frac{547}{614}$$

השתמש ב- ‎\frac{547}{614} במקום y ב- ‎71x+179y=-287. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$71x+179\times \frac{547}{614}=-287$$

הכפל את ‎179 ב- ‎\frac{547}{614}.

$$71x+\frac{97913}{614}=-287$$

החסר ‎\frac{97913}{614} משני אגפי המשוואה.

$$71x=-\frac{274131}{614}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎71.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$