פתור את {l}{13x+20y=48}{20x+93y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 13 x + 20 y = 48 } \\ { 20 x + 93 y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{4444}{809} = 5\frac{399}{809} \approx 5.493201483$$

$$y = -\frac{947}{809} = -1\frac{138}{809} \approx -1.170580964$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$13x+20y=48$$

החסר ‎20y משני אגפי המשוואה.

$$13x=-20y+48$$

חלק את שני האגפים ב- ‎13.

$$x=\frac{1}{13}\left(-20y+48\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{13} ב- ‎-20y+48.

$$x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{-20y+48}{13} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎20x+93y=1.

$$20\left(-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}\right)+93y=1$$

הכפל את ‎20 ב- ‎\frac{-20y+48}{13}.

$$-\frac{400}{13}y+\frac{960}{13}+93y=1$$

הוסף את ‎-\frac{400y}{13} ל- ‎93y.

$$\frac{809}{13}y+\frac{960}{13}=1$$

החסר ‎\frac{960}{13} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{809}{13}y=-\frac{947}{13}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{809}{13}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{947}{809}$$

השתמש ב- ‎-\frac{947}{809} במקום y ב- ‎x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{20}{13}\left(-\frac{947}{809}\right)+\frac{48}{13}$$

הכפל את ‎-\frac{20}{13} ב- ‎-\frac{947}{809} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{18940}{10517}+\frac{48}{13}$$

הוסף את ‎\frac{48}{13} ל- ‎\frac{18940}{10517} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{4444}{809}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{13\times 93-20\times 20}&-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}\\-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}&\frac{13}{13\times 93-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}&-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}&\frac{13}{809}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}\times 48-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}\times 48+\frac{13}{809}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4444}{809}\\-\frac{947}{809}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

כדי להפוך את ‎13x ו- ‎20x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎20 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎13.

$$20\times 13x+20\times 20y=20\times 48,13\times 20x+13\times 93y=13$$

פשט.

$$260x+400y=960,260x+1209y=13$$

החסר את ‎260x+1209y=13 מ- ‎260x+400y=960 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$260x-260x+400y-1209y=960-13$$

הוסף את ‎260x ל- ‎-260x. האיברים ‎260x ו- ‎-260x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$400y-1209y=960-13$$

הוסף את ‎400y ל- ‎-1209y.

$$-809y=960-13$$

הוסף את ‎960 ל- ‎-13.

$$-809y=947$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-809.

$$y=-\frac{947}{809}$$

השתמש ב- ‎-\frac{947}{809} במקום y ב- ‎20x+93y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$20x+93\left(-\frac{947}{809}\right)=1$$

הכפל את ‎93 ב- ‎-\frac{947}{809}.

$$20x-\frac{88071}{809}=1$$

הוסף ‎\frac{88071}{809} לשני אגפי המשוואה.

$$20x=\frac{88880}{809}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎20.

$$x=\frac{4444}{809}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$