פתור את {l}{12x+4y=6}{9x+16y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$12x+4y=6$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$12x=-4y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{12} ב- ‎-4y+6.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{3}+\frac{1}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎9x+16y=8.

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

הכפל את ‎9 ב- ‎-\frac{y}{3}+\frac{1}{2}.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

הוסף את ‎-3y ל- ‎16y.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

החסר ‎\frac{9}{2} משני אגפי המשוואה.

$$13y=\frac{7}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎13.

$$y=\frac{7}{26}$$

השתמש ב- ‎\frac{7}{26} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎\frac{7}{26} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎-\frac{7}{78} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{16}{39}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

כדי להפוך את ‎12x ו- ‎9x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎9 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎12.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

פשט.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

החסר את ‎108x+192y=96 מ- ‎108x+36y=54 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

הוסף את ‎108x ל- ‎-108x. האיברים ‎108x ו- ‎-108x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$36y-192y=54-96$$

הוסף את ‎36y ל- ‎-192y.

$$-156y=54-96$$

הוסף את ‎54 ל- ‎-96.

$$-156y=-42$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-156.

$$y=\frac{7}{26}$$

השתמש ב- ‎\frac{7}{26} במקום y ב- ‎9x+16y=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

הכפל את ‎16 ב- ‎\frac{7}{26}.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

החסר ‎\frac{56}{13} משני אגפי המשוואה.

$$9x=\frac{48}{13}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$x=\frac{16}{39}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$