פתור את {l}{12a+4b=-4}{3a-9b=-21}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 a + 4 b = - 4 } \\ { 3 a - 9 b = - 21 } \end{array} \right.$$

פתור עבור a, b

$$a=-1$$

$$b=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור a על-ידי בידוד a בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$12a+4b=-4$$

החסר ‎4b משני אגפי המשוואה.

$$12a=-4b-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$a=\frac{1}{12}\left(-4b-4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{12} ב- ‎-4b-4.

$$a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{-b-1}{3} במקום ‎a במשוואה השניה, ‎3a-9b=-21.

$$3\left(-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}\right)-9b=-21$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-b-1}{3}.

$$-b-1-9b=-21$$

הוסף את ‎-b ל- ‎-9b.

$$-10b-1=-21$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$-10b=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-10.

$$b=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום b ב- ‎a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$a=-\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎2.

$$a=\frac{-2-1}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{3} ל- ‎-\frac{2}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=-1,b=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{12\left(-9\right)-4\times 3}&-\frac{4}{12\left(-9\right)-4\times 3}\\-\frac{3}{12\left(-9\right)-4\times 3}&\frac{12}{12\left(-9\right)-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}\left(-4\right)+\frac{1}{30}\left(-21\right)\\\frac{1}{40}\left(-4\right)-\frac{1}{10}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה a ו- b.

$$a=-1,b=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

כדי להפוך את ‎12a ו- ‎3a לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎12.

$$3\times 12a+3\times 4b=3\left(-4\right),12\times 3a+12\left(-9\right)b=12\left(-21\right)$$

פשט.

$$36a+12b=-12,36a-108b=-252$$

החסר את ‎36a-108b=-252 מ- ‎36a+12b=-12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$36a-36a+12b+108b=-12+252$$

הוסף את ‎36a ל- ‎-36a. האיברים ‎36a ו- ‎-36a מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$12b+108b=-12+252$$

הוסף את ‎12b ל- ‎108b.

$$120b=-12+252$$

הוסף את ‎-12 ל- ‎252.

$$120b=240$$

חלק את שני האגפים ב- ‎120.

$$b=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום b ב- ‎3a-9b=-21. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את a ישירות.

$$3a-9\times 2=-21$$

הכפל את ‎-9 ב- ‎2.

$$3a-18=-21$$

הוסף ‎18 לשני אגפי המשוואה.

$$3a=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$a=-1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$a=-1,b=2$$