פתור את {l}{11x+3y=6}{x+7y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 3 y = 6 } \\ { x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{33}{74}\approx 0.445945946$$

$$y=\frac{27}{74}\approx 0.364864865$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$11x+3y=6,x+7y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$11x+3y=6$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$11x=-3y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$x=\frac{1}{11}\left(-3y+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{11} ב- ‎-3y+6.

$$x=-\frac{3}{11}y+\frac{6}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+6}{11} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+7y=3.

$$-\frac{3}{11}y+\frac{6}{11}+7y=3$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{11} ל- ‎7y.

$$\frac{74}{11}y+\frac{6}{11}=3$$

החסר ‎\frac{6}{11} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{74}{11}y=\frac{27}{11}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{74}{11}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{27}{74}$$

השתמש ב- ‎\frac{27}{74} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{11}y+\frac{6}{11}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{11}\times \frac{27}{74}+\frac{6}{11}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{11} ב- ‎\frac{27}{74} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{81}{814}+\frac{6}{11}$$

הוסף את ‎\frac{6}{11} ל- ‎-\frac{81}{814} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{33}{74}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{33}{74},y=\frac{27}{74}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$11x+3y=6,x+7y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&3\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11\times 7-3}&-\frac{3}{11\times 7-3}\\-\frac{1}{11\times 7-3}&\frac{11}{11\times 7-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{74}&-\frac{3}{74}\\-\frac{1}{74}&\frac{11}{74}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{74}\times 6-\frac{3}{74}\times 3\\-\frac{1}{74}\times 6+\frac{11}{74}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{74}\\\frac{27}{74}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{33}{74},y=\frac{27}{74}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$11x+3y=6,x+7y=3$$

כדי להפוך את ‎11x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎11.

$$11x+3y=6,11x+11\times 7y=11\times 3$$

פשט.

$$11x+3y=6,11x+77y=33$$

החסר את ‎11x+77y=33 מ- ‎11x+3y=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$11x-11x+3y-77y=6-33$$

הוסף את ‎11x ל- ‎-11x. האיברים ‎11x ו- ‎-11x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y-77y=6-33$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-77y.

$$-74y=6-33$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-33.

$$-74y=-27$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-74.

$$y=\frac{27}{74}$$

השתמש ב- ‎\frac{27}{74} במקום y ב- ‎x+7y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+7\times \frac{27}{74}=3$$

הכפל את ‎7 ב- ‎\frac{27}{74}.

$$x+\frac{189}{74}=3$$

החסר ‎\frac{189}{74} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{33}{74}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{33}{74},y=\frac{27}{74}$$