פתור את {l}{10x+5y=15}{5x+6y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 5 y = 15 } \\ { 5 x + 6 y = - 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$10x+5y=15,5x+6y=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$10x+5y=15$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$10x=-5y+15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-5y+15\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{10} ב- ‎-5y+15.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+3}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x+6y=-3.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+6y=-3$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{-y+3}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}+6y=-3$$

הוסף את ‎-\frac{5y}{2} ל- ‎6y.

$$\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}=-3$$

החסר ‎\frac{15}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{7}{2}y=-\frac{21}{2}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{7}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3\right)+\frac{3}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎-3.

$$x=\frac{3+3}{2}$$

הוסף את ‎\frac{3}{2} ל- ‎\frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$10x+5y=15,5x+6y=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}10&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}10&5\\5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{10\times 6-5\times 5}&-\frac{5}{10\times 6-5\times 5}\\-\frac{5}{10\times 6-5\times 5}&\frac{10}{10\times 6-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{35}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{35}\times 15-\frac{1}{7}\left(-3\right)\\-\frac{1}{7}\times 15+\frac{2}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=-3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$10x+5y=15,5x+6y=-3$$

כדי להפוך את ‎10x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎10.

$$5\times 10x+5\times 5y=5\times 15,10\times 5x+10\times 6y=10\left(-3\right)$$

פשט.

$$50x+25y=75,50x+60y=-30$$

החסר את ‎50x+60y=-30 מ- ‎50x+25y=75 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$50x-50x+25y-60y=75+30$$

הוסף את ‎50x ל- ‎-50x. האיברים ‎50x ו- ‎-50x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$25y-60y=75+30$$

הוסף את ‎25y ל- ‎-60y.

$$-35y=75+30$$

הוסף את ‎75 ל- ‎30.

$$-35y=105$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-35.

$$y=-3$$

השתמש ב- ‎-3 במקום y ב- ‎5x+6y=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x+6\left(-3\right)=-3$$

הכפל את ‎6 ב- ‎-3.

$$5x-18=-3$$

הוסף ‎18 לשני אגפי המשוואה.

$$5x=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=-3$$